Vorhersage der elastischen und plastischen Eigenschaften kleiner Eisenpolykristalle durch maschinelles Lernen

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13977 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Die Verformung kristalliner Materialien ist ein interessantes Beispiel für komplexes Systemverhalten. Kleine Proben zeigen typischerweise eine stochastische, unregelmäßige Reaktion auf von außen ausgeübte Spannungen, die sich in erheblichen Schwankungen ihrer mechanischen Eigenschaften von Probe zu Probe äußert. In dieser Arbeit untersuchen wir die Vorhersagbarkeit der probenabhängigen Schermodule und Fließspannungen einer großen Menge kleiner würfelförmiger Eisenpolykristalle, die durch Voronoi-Tessellation erzeugt werden, indem wir Molekulardynamiksimulationen und maschinelles Lernen kombinieren. Das Training eines neuronalen Faltungsnetzwerks, um die Zuordnung zwischen der anfänglichen polykristallinen Struktur der Proben und den Merkmalen der resultierenden Spannungs-Dehnungs-Kurven abzuleiten, zeigt, dass der Schermodul besser vorhergesagt werden kann als die Fließspannung. Wir diskutieren unsere Ergebnisse im Kontext der Empfindlichkeit der Reaktion des Systems auf kleine Störungen seines Anfangszustands.

In Experimenten untersuchte kristalline Materialien sind fast nie perfekte monokristalline Strukturen. Am häufigsten enthalten sie Gitterfehler und sind in der Regel Polykristalle, das heißt, sie bestehen aus mehreren Körnern unterschiedlicher Gitterorientierung, die durch Korngrenzen getrennt sind, die eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der mechanischen Eigenschaften der Probe spielen1. Während ihrer Verformung macht die Komplexität der Dynamik des Polykristalls auf mikroskopischer Ebene die Vorhersage der mechanischen Reaktion einer einzelnen Probe basierend auf ihrem Anfangszustand (Mikrostruktur) schwierig. Darüber hinaus weist die Kristallplastizität Größeneffekte auf, was darauf hindeutet, dass kleinere Systeme stärker sind (die zum Erreichen einer bestimmten Dehnung erforderliche Spannung ist höher) und ihre mechanische Reaktion auf die von außen ausgeübten Spannungen tendenziell unregelmäßig ist und durch eine erhebliche Variation von Probe zu Probe gekennzeichnet ist2 ,3. Die letztgenannten Merkmale sind auf die probenabhängige Mikrostruktur kleiner Polykristalle zurückzuführen, was bedeutet, dass die Vorhersage ihrer mechanischen Reaktion wahrscheinlich eine besondere Herausforderung darstellt.

In den letzten Jahren wurden enorme Fortschritte bei der Entwicklung und Anwendung von Techniken des maschinellen Lernens (ML) in vielen Bereichen der Wissenschaft beobachtet4,5,6,7,8,9. In der Materialwissenschaft hat dies zur Entstehung von Methoden geführt, die in der Lage sind, Proben zu identifizieren und zu charakterisieren10,11,12, neuartige Materialien mit gewünschten Eigenschaften zu entwerfen13,14,15,16 und Beziehungen zwischen der Struktur und den Eigenschaften des Materials herzustellen17,18 ,19,20. Ein verwandtes Forschungsproblem, das für die vorliegende Studie relevant ist, ist die Vorhersage der mechanischen Reaktion einer Materialprobe während ihrer Verformung21,22,23. Die allgemeine Problemstellung lässt sich wie folgt formulieren: Mit welcher Genauigkeit kann anhand einer Beschreibung des Anfangszustands (Mikrostruktur) der Probe ihre mechanische Reaktion vorhergesagt werden?

Die Genauigkeit der Vorhersage des gegebenen ML-Algorithmus kann quantitativ beispielsweise durch das Bestimmtheitsmaß \(r^2\) ausgedrückt werden. Wenn das untersuchte System durch deterministische Bewegungsgleichungen bestimmt wird, sollte es im Prinzip möglich sein, einen Algorithmus so zu trainieren, dass er seine Dynamik perfekt darstellt, was zu einem perfekten Vorhersagbarkeitswert \(r^2=1\) führen würde. In der Praxis kommt dies jedoch meist nicht vor. Die Dynamik vieler komplexer Systeme ist bis zu einem gewissen Grad chaotisch oder zeigt, wie im Fall der Versetzungsdynamik, kritisches Verhalten24,25,26,27,28. Dies impliziert, dass die zeitliche Entwicklung eines komplexen Systems wie eines kleinen, sich plastisch verformenden Kristalls empfindlich auf kleine Störungen seiner Anfangsbedingungen reagieren kann. Mit anderen Worten: Eine geringfügige Störung des Anfangszustands des Systems kann zu erheblichen Unterschieden in seiner nachfolgenden Dynamik führen. Dies schränkt das Ausmaß ein, in dem die zeitliche Entwicklung solcher Systeme vorhergesagt werden kann (z. B. über ML-Algorithmen), da die vollständigen Informationen über den Anfangszustand, der auf der atomaren Skala die Positionen und Geschwindigkeiten aller Atome umfasst, normalerweise nicht verfügbar sind auf die endliche Präzision experimenteller Beobachtungen oder grobkörniger numerischer Darstellungen der Daten. Darüber hinaus sind numerische Simulationen aufgrund der endlichen Dezimalgenauigkeit auch nie vollkommen genau, was die durch kleine Störungen des Anfangszustands verursachten Unterschiede noch verstärken kann. Diese Studie betrifft nur Computersimulationen, aber wie oben erläutert, besteht das Fehlen einer vollständigen Beschreibung des Anfangszustands auch in Experimenten, bei denen jede Charakterisierung der anfänglichen Mikrostruktur (unter Verwendung verschiedener Bildgebungstechniken) eine endliche Präzision aufweist.

Polykristalle wurden von ML in mehreren Veröffentlichungen29,30,31,32,33 untersucht, wobei experimentelle Daten und Finite-Elemente-Simulationen zur Erstellung der Trainingsdaten verwendet wurden. Im Gegensatz dazu untersuchen wir in dieser Arbeit die Vorhersagbarkeit des Verformungsprozesses von würfelförmigen Eisen-Nanopolykristallen, indem wir spannungsgesteuerte Molekulardynamiksimulationen (MD) mit ML-Methoden kombinieren. Der Einsatz von MD-Simulationen ermöglicht die Berücksichtigung atomarer Strukturdetails, was bei Polykristallen aufgrund der Existenz von Korngrenzen besonders wichtig ist. Wir erzeugen einen großen Satz Polykristalle mit unterschiedlichen Formen und Größen der Körner und trainieren damit ein Faltungs-Neuronales Netzwerk (CNN), um den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Mikrostruktur und den Merkmalen der Spannungs-Dehnungs-Kurve abzuleiten. Unsere Studie konzentriert sich auf eine spezifische Morphologie von Polykristallen, da wir für ihre Erzeugung die Voronoi-Tessellation verwenden. Wir zeigen, dass die wichtigsten elastischen und plastischen Eigenschaften, die die Reaktion des Systems auf angelegte Scherspannungen charakterisieren, nämlich Schermodul und Fließspannung, einen unterschiedlichen Grad an Vorhersagbarkeit aufweisen, der hier durch das Bestimmtheitsmaß \(r^2\) gemessen wird. Als Deskriptoren für CNN verwenden wir Felder, die die lokalen Eigenschaften der Polykristalle auf atomarer Ebene beschreiben. Der Grad der Vorhersagbarkeit, den wir für diese Größen finden, wird dann im Zusammenhang mit der Empfindlichkeit des Systems gegenüber kleinen Störungen der Anfangsbedingungen diskutiert. Wir schlagen vor, dass die Empfindlichkeit ein wichtiger Faktor ist, der der Vorhersagbarkeit der Entwicklung komplexer Systeme, wie etwa der Vorhersagbarkeit von Verformungen, grundlegende Grenzen setzt.

Schematische Darstellung des in der Arbeit untersuchten Modells. Die polykristalline Probe wird zunächst bei 300 K äquilibriert (links), anschließend wird sie durch MD-Simulationen mit einer konstanten Dehnungsrate scherverformt (Mitte). Während der Simulation wird die momentane Scherspannung \(\sigma\) als Funktion der Dehnung \(\epsilon\) gemessen, was zu einer eindeutigen Spannungs-Dehnungs-Kurve \(\sigma (\epsilon)\) für jede Probe führt. Das mehrmalige Wiederholen der Simulation für verschiedene anfängliche Polykristallstrukturen führt zu einem Ensemble von Spannungs-Dehnungs-Kurven mit einem Mittelwert als schwarze Linie und einer Standardabweichung als graue Linie (rechts).

Schematische Darstellung des CNN, das zur Vorhersage des Schermoduls und der Fließspannung des Polykristalls verwendet wird. Dreidimensionale Arrays, die die lokale kristallographische Orientierung und die Korngrenzen des Polykristalls darstellen, werden in dreidimensionale Faltungsschichten eingespeist, wo sie von den Faltungsfiltern verarbeitet werden. Unterschiedliche Farben repräsentieren unterschiedliche Filter. Anschließend wird die Größe der Arrays um den maximalen Pooling-Layer reduziert. Der Vorgang wird wiederholt, bis die Arrays die Größe \(1\times 1\times 1\) haben. Anschließend werden sie verkettet und in das vollständig verbundene neuronale Netzwerk eingespeist, das die endgültige Ausgabe liefert, d. h. Schermodul, Streckgrenze gemäß einer der im rechten Feld angegebenen Definitionen, Spannung bei festem Dehnungswert oder Streckgrenze. Die Prozentwerte beziehen sich auf das Offset-Yield-Verfahren.

Zunächst wird mit Voronoi-Tessellation ein Satz von 4000 würfelförmigen polykristallinen Eisen-Anfangskonfigurationen erzeugt. Die Probengröße beträgt \(20\times 20\times 20\) \(\hbox {nm}^{3}\) und alle Proben enthalten 8 Nanokörner der durchschnittlichen Größe 10 nm mit zufällig gewählten Positionen der Samen im Voronoi Tessellation und Euler-Winkel, die die kristallographische Gitterorientierung angeben. Obwohl sowohl die Größe des Nanokristalls als auch die Anzahl der Nanokörner festgelegt sind, weisen die einzelnen Körner unterschiedliche Formen und Größen auf, und daher variiert auch der Volumenanteil der Grenze zwischen ihnen von Probe zu Probe. Die Gitterstruktur ist bcc und die Gitterkonstante wird mit 0,287 nm gewählt. Jede Konfiguration enthält etwa 677.000 Atome. Weitere Einzelheiten zur Erzeugung von Eisenpolykristallen finden Sie im Abschnitt „Methoden“ „Erzeugung von Polykristallen“.

Nachdem der Satz anfänglicher polykristalliner Konfigurationen erzeugt wurde, wird ihre Energie zunächst durch Anpassen der Atomkoordinaten minimiert und anschließend bei 300 K äquilibriert. Während dieser Phasen transformieren sich die anfänglich scharfen Korngrenzen, die durch die Voronoi-Tessellation erzeugt wurden, durch lokale Atomumlagerung leicht. Anschließend werden die MD-Simulationen der Scherverformung für jeden von ihnen mit dem Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator (LAMMPS)34 durchgeführt (weitere Einzelheiten finden Sie im Abschnitt „Methoden“ „Molekulardynamiksimulationen“), um die probenspezifische Spannung zu erhalten -Dehnungskurve für jede Probe. Das Modell ist zusammen mit einigen entsprechenden beispielhaften Spannungs-Dehnungs-Kurven schematisch in Abb. 1 dargestellt. Wie dort zu beobachten ist, weisen die Kurven eine große Variabilität von Probe zu Probe auf. Während der elastische Teil verschiedener Kurven ähnlich (aber nicht gleich) ist und linear mit einer bestimmten Steigung zunimmt, deren Größe von Probe zu Probe variiert, gibt es im plastischen Bereich, der typischerweise bei einem Dehnungswert von 0,09 beginnt, große Unterschiede Die Stressreaktion und die Kurven weisen einen schwankenden Charakter mit vielen Stressabfällen auf. Man kann auch beobachten, dass verschiedene Kurven ein qualitativ unterschiedliches Verhalten zeigen. Einige von ihnen weisen bei einem bestimmten Dehnungswert einen starken Spannungsabfall auf, während andere nach Erreichen der Ausbeute relativ flach bleiben. Infolgedessen weist die Fließspannung eine viel größere Variabilität auf als der Schubmodul.

Für jede Konfiguration werden der Schubmodul und die Fließspannungen (unter Verwendung unterschiedlicher Definitionen, siehe unten) aus den entsprechenden Spannungs-Dehnungs-Kurven extrahiert, die während der Simulation erhalten wurden. Der Schubmodul wird als Steigung der linearen Funktion angenommen, die mit der Methode der kleinsten Quadrate an die Spannungs-Dehnungs-Kurve im Dehnungsbereich von 0 bis 0,01 angepasst wurde, in dem sich das System noch im elastischen Bereich befindet. Für die Ermittlung der Fließspannung werden hingegen mehrere unterschiedliche Definitionen verwendet, die im Folgenden erläutert werden.

Als Deskriptoren werden Eingabefelder, die die lokale Gitterorientierung und Dichte der Atome an der Korngrenze darstellen, mit unterschiedlichen Auflösungen aus den äquilibrierten Konfigurationen extrahiert. Zusammen mit den aus den Spannungs-Dehnungs-Kurven extrahierten Ausgabewerten des Schermoduls und der Fließspannung werden sie anschließend zum Training von CNNs verwendet. Das Schema des CNN ist in Abb. 2 dargestellt (Einzelheiten zu Deskriptoren finden Sie im Methodenabschnitt „Deskriptoren“ und Einzelheiten zur CNN-Architektur im Methodenabschnitt „Faltungsneuronale Netze“). Die Vorhersagbarkeit wird als Bestimmtheitsmaß \(r^2\) als Funktion der Datensatzgröße N gemessen, gegeben durch

Dabei ist \(y_i\) der wahre Wert des Schermoduls oder der Fließspannung der Probe i, \(\langle y \rangle\) der Mittelwert, \(f_i\) der vom CNN vorhergesagte Wert und N ist die Gesamtzahl der Proben im gegebenen Satz. Das Bestimmtheitsmaß ist eine häufig verwendete Metrik zur Beurteilung der Qualität der Regressionsanalyse und kann als der Anteil der Varianz in der abhängigen (vorhergesagten) Variablen interpretiert werden, der aus den unabhängigen Variablen (Eingabe) vorhergesagt wird35.

Ein Material befindet sich dann im elastischen Zustand, wenn es nach Wegfall der von außen einwirkenden Spannung in seine ursprüngliche Form und Größe zurückkehrt. Elastizität wird quantitativ durch eine Reihe von Elastizitätskonstanten charakterisiert, wie z. B. den Elastizitätsmodul, den Volumenmodul oder den Schermodul, die angeben, wie viel Spannung erforderlich ist, um die Probe auf eine bestimmte Weise zu verformen. Diese Konstanten können in Form des Elastizitätstensors geschrieben werden.

Während die elastischen Konstanten von Einkristallen für die meisten Materialien bekannt sind, hängen sie bei polykristallinen Proben von der Form und kristallographischen Ausrichtung jedes einzelnen Kornbestandteils ab36. Die elastischen Konstanten dieser einzelnen Körner entsprechen der Rotationstransformation des Elastizitätstensors, der für die kristallographischen Hauptachsen erhalten wurde. Darüber hinaus kann in der äquilibrierten polykristallinen Probe die kristallographische Orientierung in der Nähe der Korngrenzen anders sein als innerhalb der Körner, was auch die elastischen Eigenschaften des gesamten Materials beeinflussen kann. Man kann daher erwarten, dass der Schermodul des gesamten Polykristalls mit angemessener Genauigkeit aus dem Feld der innerhalb der Probe variierenden kristallographischen Orientierung extrahiert werden kann.

In Abb. 3 ist das Bestimmtheitsmaß \(r^2\) für den Schermodul als Funktion der Datensatzgröße N dargestellt, die als Eingabe für das Training des CNN verwendet wird. Die Vorhersagbarkeit ist selbst für die kleinsten Werte von N bereits gut. Durch das Hinzufügen weiterer Konfigurationen wird sie weiter erhöht und die Trainings-Testsatz-Lücke \(\delta\) verringert, wie in den Einschüben zu sehen ist. Darüber hinaus lässt sich erkennen, dass eine Erhöhung der Auflösung der Eingabedaten auch die Vorhersagbarkeit verbessert. Während der Unterschied in \(r^2\) zwischen den Auflösungen von \(16\times 16\times 16\) und \(32\times 32\times 32\) ziemlich groß ist, verbessern sich die Ergebnisse nicht viel mehr, wenn Die Auflösung wird weiter auf \(64\times 64\times 64\) erhöht. In Abb. 4a ist das Streudiagramm der wahren Werte gegenüber den vorhergesagten Werten des Schermoduls für einen der Samen mit der Auflösung der Deskriptoren \(32\times 32\times 32\) dargestellt. Abb. 5 zeigt \(r^2\) des Testsatzes für den Schermodul als Funktion der inversen Datensatzgröße, 1/N, mit einer an die Punkte angepassten linearen Funktion. Es ermöglicht die Schätzung des asymptotischen Werts von \(r^2\) für \(N\rightarrow \infty\).

Zusätzlich sind die Werte von \(r^2\), die sich aus dem Training mit nur einem der Deskriptoren ergeben, im Vergleich zu \(r^2\) für beide Deskriptoren zusammen in Abb. 6 für die Auflösung \(32\times 32\) dargestellt. mal 32\). Wie man dort sehen kann, ist die Gitterorientierung der einzelnen Körner des Polykristalls ein wichtigerer Deskriptor für die Vorhersage des Schermoduls als die Korngrenze. Die Werte von \(r^2\) für den letztgenannten Deskriptor sind tatsächlich leicht negativ, was darauf hindeutet, dass er allein keine Informationen über den Schubmodul liefert. Allerdings ist \(r^2\) für beide Deskriptoren zusammen immer noch etwas höher als das für die Gitterorientierung, nur in fast dem gesamten Bereich von N. Dies deutet darauf hin, dass der Deskriptor der Korngrenze tatsächlich einige relevante Informationen enthalten könnte der Schubmodul, jedoch nur in Kombination mit dem anderen Deskriptor.

\(r^2\) für den Schermodul, der für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von N erhalten wurde. Die gestrichelten Linien zeigen die Werte von \(r^2\) für den Trainingssatz und die durchgezogenen Linien für das Testset. Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion von N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

Streudiagramme der wahren Werte der in der Arbeit untersuchten Größen im Vergleich zu den entsprechenden, vom CNN für einen einzelnen Samen vorhergesagten Werten mit der Auflösung der Deskriptoren \(32\times 32\times 32\).

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für den Schermodul, der für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von 1/N erhalten wurde. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

\(r^2\) für den Schermodul, der für den Testsatz mit der Auflösung \(32\times 32\times 32\) erhalten wurde, wobei die Deskriptoren separat verwendet und als Funktion von N kombiniert wurden. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

Kristalle verformen sich plastisch, wenn sie nicht in ihre ursprüngliche Form zurückkehren, wenn die äußere Spannung entfernt wird. Während bei einem perfekten Kristallgleiten, also der Verschiebung zweier Atomschichten entlang einander, eine große Spannung erforderlich wäre, wird die Plastizität in echten Kristallen durch Defekte begünstigt. Sehr oft wird die Plastizität durch die Bewegung von Versetzungen vermittelt. In den hier untersuchten Polykristallen sind in der Ausgangskonfiguration keine Versetzungen innerhalb der Körner vorhanden, die Korngrenzen mit geringen Fehlorientierungswinkeln können jedoch als Anordnungen von Versetzungen betrachtet werden. Polykristalle verformen sich am häufigsten durch die Entstehung von Versetzungen an den Korngrenzen und durch Korngrenzengleiten 37,38.

Die Streckgrenze des Materials ist der Punkt auf der Spannungs-Dehnungs-Kurve, der den Übergang vom elastischen zum plastischen Verhalten anzeigt. Sobald die Probe in den plastischen Bereich eintritt, wird sie dauerhaft verformt. Die Fließgrenze wird vollständig durch die Angabe ihrer beiden Koordinaten spezifiziert, die als Fließdehnung und Fließspannung bezeichnet werden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Lage der Fließgrenze genau zu bestimmen.

Bei Metallen wird die Streckgrenze durch die Offset-Methode39 bestimmt. Bei diesem Ansatz wird die Fließgrenze als Schnittpunkt der Spannungs-Dehnungs-Kurve mit der Linie parallel zum Elastizitätsbereich bestimmt. Der Versatz, um den diese Linie verschoben wird, kann je nach Material variieren. Üblicherweise wird eine Dehnung von 0,002 (0,2 %)39,40 gewählt, allerdings ist dieser Wert in dieser Arbeit nicht besonders nützlich, da der damit ermittelte Schnittpunkt innerhalb des elastischen Teils der Spannungs-Dehnungs-Kurve liegt. Es hat sich gezeigt, dass sich nanokristalline Polykristalle heterogener verformen und daher nicht alle Körner durch die 0,2-prozentige Versatzspannung verformt werden41,42. Daher werden in dieser Arbeit stattdessen die Offsetwerte 0,01 (1 %) und 0,02 (2 %) gewählt. Die Methode ist im rechten Feld von Abb. 2 dargestellt. Wie dort zu sehen ist, liegt der Offsetwert für 1 % immer noch im pseudoelastischen Bereich, was gerade einer Dehnungserweichung der Probe entspricht. Allerdings liegt der mit dieser Methode ermittelte Punkt für 2 % knapp hinter der ersten sprunghaften Änderung der Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mit der Offset-Methode ermittelte Fließgrenze kann als Zustand der plastischen Verformung des Systems um den durch den Offset vorgegebenen Wert interpretiert werden.

Man kann auch an der maximalen Belastung interessiert sein, der die Probe standhalten kann43,44, was dem globalen Maximum der Spannungs-Dehnungs-Kurve entspricht. Bei unregelmäßigen, stark schwankenden Spannungs-Dehnungs-Kurven, wie sie beispielsweise bei kleinen Proben auftreten, ist diese Definition jedoch möglicherweise nicht als Definition der Fließgrenze geeignet.

Man kann auch den Spannungswert bei einer festen Dehnung berücksichtigen, der manchmal als Fließspannung45,46 definiert wird. Der genaue Wert der Dehnung sollte so gewählt werden, dass das System bereits plastisch verformt ist. Betrachtet man die durchschnittliche Spannungs-Dehnungs-Kurve in Abb. 1, liegt ein geeigneter Dehnungswert zur Auswahl etwa im Bereich von 0,075–0,1.

\(r^2\) für die mit der Offset-Methode definierte Fließspannung bei 2 %, erhalten für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von N. Die gestrichelten Linien zeigen die Werte von \(r^2\) für den Trainingssatz und die durchgehenden Linien für den Testsatz. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM). Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion der Datensatzgröße.

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für die mit der Offset-Methode definierte Streckgrenze bei 2 %, erhalten für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von 1/N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

\(r^2\) für die Fließspannung, definiert mit der Offset-Methode bei 2 %, erhalten für den Testsatz mit der Auflösung \(32\times 32\times 32\), wobei die Deskriptoren separat verwendet und kombiniert werden. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

\(r^2\) für die mit der Offset-Methode definierte Fließspannung für die Auflösung von \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten als Funktion von N. Die gestrichelten Linien zeigen die Werte von \ (r^2\) für den Trainingssatz und die durchgehenden Linien für den Testsatz. Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion von N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für die Fließspannung, definiert mit der Offset-Methode für die Auflösung von \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten als Funktion von 1/N . Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion von N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

\(r^2\) für den maximalen Spannungswert entlang der Spannungs-Dehnungs-Kurve, der für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von N erhalten wurde. Die gestrichelten Linien zeigen die Werte von \(r^2\) für Trainingssatz und die durchgehenden Linien für den Testsatz. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM). Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion der Datensatzgröße.

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für den maximalen Spannungswert entlang der Spannungs-Dehnungs-Kurve, erhalten für drei verschiedene Auflösungen der CNN-Eingabedaten als Funktion von 1/N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

\(r^2\) für den maximalen Spannungswert entlang der Spannungs-Dehnungs-Kurve, der für den Testsatz mit der Auflösung \(32\times 32\times 32\) erhalten wurde, wobei die Deskriptoren separat verwendet und kombiniert wurden. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

In Abb. 7 ist \(r^2\) für die mit dem Offsetwert 2 % erhaltene Fließspannung für drei verschiedene Auflösungen als Funktion von N (im Abstand von 500 Konfigurationen) dargestellt. \(r^2\) ist deutlich niedriger als beim Schubmodul und \(\delta\) etwas höher. Ähnlich wie beim Schubmodul nimmt die Vorhersagbarkeit der Offset-Fließspannung mit der Auflösung zu und der signifikanteste Anstieg von \(r^2\) tritt zwischen \(16\times 16\times 16\) und \(32\times 32) auf \times 32\). Eine weitere Erhöhung der Auflösung auf \(64\times 64\times 64\) verbessert die Vorhersagbarkeit nicht wesentlich. Für alle Auflösungen nimmt \(r^2\) mit N zu und \(\delta\) wird kleiner. Gemäß dem in Abb. 8 gezeigten asymptotischen Verhalten ist der Wert von \(r^2\) des Testsatzes bei \(N\rightarrow \infty\) auch für die Auflösungen \(32\times 32\times 32\) höher. ) und \(64\times 64\times 64\) als \(16\times 16\times 16\).

In Abb. 9 sind die Werte von \(r^2\) für die Streckgrenze dargestellt, die mit 2 % Versatz für die einzelnen Deskriptoren erhalten wurden. Im Gegensatz zum Schubmodul ist für diese Definition der Fließspannung die Korngrenze ein wichtigerer Deskriptor als die Gitterorientierung. Die Bedeutung des ersteren nimmt jedoch mit der Datensatzgröße N zu.

Der Bestimmtheitskoeffizient \(r^2\) bei \(32\times 32\times 32\) für die Streckgrenze für 2 % Versatz wird in Abb. 10 mit dem für 1 % Versatz erhaltenen Wert verglichen. Es ist zu beobachten, dass die Vorhersagbarkeit für beide Werte des Offsets ähnlich ist und \(r^2\) für den Testsatz 0,6 für den gesamten Datensatz erreicht. \(\delta\) wird in beiden Fällen mit zunehmendem N reduziert. Das in Abb. 11 gezeigte asymptotische Verhalten zeigt, dass die Werte von \(r^2\) für \(N\rightarrow \infty\) sehr nahe beieinander liegen. Auch hier sind die entsprechenden Streudiagramme der wahren Werte gegenüber den vorhergesagten Werten für diese beiden Fälle in Abb. 4b und c dargestellt. Entsprechend der Differenz zwischen den \(r^2\)-Werten lässt sich beobachten, dass die Streuung der Fließspannung deutlich größer ist als die des Schubmoduls.

Der Bestimmtheitskoeffizient \(r^2\) für den Trainings- und Testsatz, der aus den für den maximalen Spannungswert trainierten CNNs erhalten wurde, ist in Abb. 12 dargestellt, wiederum bei drei verschiedenen Auflösungen der Eingabedaten. Was die Offset-Definition betrifft, kann beobachtet werden, dass sowohl für den Trainings- als auch für den Testsatz der Wert von \(r^2\) mit N zunimmt. Die Ergebnisse sehen für alle untersuchten Auflösungen ähnlich aus. Die Einschübe zeigen, dass \(\delta\) mit zunehmendem N abnimmt. Das entsprechende asymptotische Verhalten ist in Abb. 13 zu sehen und das entsprechende Streudiagramm der wahren Werte gegenüber den vorhergesagten Werten ist in Abb. 4d zu sehen.

\(r^2\) für die Spannung bei dem festen Dehnungswert von 0,075 (a) und 0,1 (b), erhalten für die Auflösung \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten, dargestellt als a Funktion von N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM). Die Einschübe zeigen \(\delta\) als Funktion von N.

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für die Spannung bei dem festen Dehnungswert von 0,075 und 0,1, erhalten für die Auflösung \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten, dargestellt als eine Funktion von 1/N. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

Auch hier sind die Werte von \(r^2\), die für die einzelnen Deskriptoren im Vergleich zu ihrer gemeinsamen Verwendung erhalten wurden, in Abb. 14 dargestellt. Auch dieses Mal ist zu erkennen, dass die Korngrenze ein wichtigerer Deskriptor ist als die Gitterorientierung Beide Deskriptoren liefern jedoch wichtige Informationen über die Fließspannung für alle betrachteten N-Werte. Auch der Wert von \(r^2\) ist für die Kombination der Deskriptoren deutlich höher als für jeden der einzeln verwendeten Deskriptoren.

In Abb. 15 ist das Bestimmtheitsmaß für den Spannungswert bei den festen Dehnungswerten 0,075 und 0,1 dargestellt. Für alle betrachteten N-Werte ist \(r^2\) für den niedrigeren Dehnungswert größer. Dies ist zu erwarten, da der entsprechende Punkt der Spannungs-Dehnungs-Kurve näher am elastischen Teil liegt und, wie bereits erwähnt, die elastischen Eigenschaften viel einfacher vorhergesagt werden können als die plastischen Eigenschaften. Die Streudiagramme der wahren Werte gegenüber den vorhergesagten Werten in Abb. 4e und f legen nahe, dass die niedrigen Spannungswerte bei einer Dehnung von 0,1 vom CNN überschätzt werden, während die hohen Werte unterschätzt werden. Auch das in Abb. 16 gezeigte asymptotische Verhalten zeigt, dass \(r^2\) für den Dehnungswert von 0,075 viel höher ist als 0,1.

\(r^2\) für die mit der Offset-Methode definierte Fließdehnung für die Auflösung von \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten als Funktion von N. Die gestrichelten Linien zeigen die Werte von \ (r^2\) für den Trainingssatz und die durchgehenden Linien für den Testsatz. Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM). Der Einschub zeigt \(\delta\) als Funktion von N.

Asymptotisches Verhalten von \(r^2\) des Testsatzes für die mit der Offset-Methode definierte Fließdehnung für die Auflösung von \(32\times 32\times 32\) der CNN-Eingabedaten als Funktion von 1/N mit dem Anpassungsbereich (0;0,001). Die Fehlerbalken sind Standardfehler des Mittelwerts (SEM).

Zusätzlich zur Fließgrenze kann man das CNN auch trainieren, um die Fließgrenze vorherzusagen. Offensichtlich ist dies nur für Definitionen sinnvoll, bei denen die Streckgrenze nicht durch den festen Wert der Dehnung bestimmt wird. Darüber hinaus zeigt sich, dass die Vorhersage für die Streckgrenze, die als maximale Spannung der Spannungs-Dehnungs-Kurve definiert ist, sehr schlecht ist. Dies ist höchstwahrscheinlich auf die Tatsache zurückzuführen, dass der maximale Spannungswert zwar bis zu einem gewissen Grad durch die Struktur des Polykristalls bestimmt wird, der Dehnungswert, bei dem dieses Maximum erreicht wird, aufgrund des schwankenden Charakters der Spannungs-Dehnung jedoch weitgehend zufällig ist Kurve. Daher ist die einzige Definition, für die die Ergebnisse der Vorhersage dargestellt werden, diejenige, die die Offset-Methode verwendet. \(r^2\), das mit dieser Methode erhalten wurde, ist in Abb. 17 dargestellt, wiederum für die Offset-Werte von 1 % und 2 %, Streudiagramme von wahren gegenüber vorhergesagten Werten sind in Abb. 4g und h und das entsprechende asymptotische Verhalten dargestellt ist in Abb. 18 dargestellt, der Anpassungsbereich für die lineare Funktion beträgt jedoch (0;0,001), da die Punkte bei niedrigem N Ausreißer sind.

In allen untersuchten Fällen ist der Wert von \(r^2\) kleiner als 1, was bedeutet, dass die Vorhersagbarkeit niemals perfekt ist. Obwohl \(r^2\) für den Testsatz tendenziell mit N (und mit der Auflösung) zunimmt, wenn sich die Lücke zwischen dem Trainings- und dem Testsatz schließt, scheint \(r^2\) für beide Sätze zuzunehmen nähern sich einem bestimmten Wert unter 1. Dies deutet darauf hin, dass es eine bestimmte Grenze für die Vorhersagbarkeit sowohl der elastischen als auch der plastischen Eigenschaften der kleinen polykristallinen Proben gibt, die wir untersuchen. Diese Grenze könnte mit grundlegenden Eigenschaften des Systems zusammenhängen, die sich in der Empfindlichkeit der mechanischen Reaktion auf kleine Schwankungen in den Anfangsbedingungen der Proben manifestieren und von den mit einer endlichen Auflösung angegebenen Deskriptoren nicht richtig erfasst werden.

Es hat sich gezeigt, dass die Vorhersagbarkeit des Schubmoduls höher ist als die der Streckgrenze. Darüber hinaus führten unterschiedliche Definitionen der Fließspannung zu unterschiedlichen Werten von \(r^2\). Wie bereits in Abb. 1 dargestellt, weisen die Spannungs-Dehnungs-Kurven in der Nähe der Fließgrenze eine größere Variabilität auf als im elastischen Bereich. Dies erklärt jedoch nicht direkt den Unterschied in den Werten der Vorhersagbarkeitswerte zwischen Schubmodul und Fließspannung, da gemäß Gl. (1) Die Vorhersagbarkeit wird als Genauigkeit der Anpassung im Verhältnis zur Varianz der vorhergesagten Größe gemessen. Daher sollten A-priori-Größen, die eine höhere Variabilität aufweisen, nicht schwieriger vorherzusagen sein.

Andererseits könnte uns die Untersuchung des Grades der Empfindlichkeit der Verformungsdynamik des Systems gegenüber kleinen Störungen der Anfangsbedingungen einen Einblick in die Grenzen der Vorhersagbarkeit geben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie eine solche Empfindlichkeit den Vorhersagbarkeitswert einschränken kann. Zunächst werden die Geschwindigkeiten der Teilchen im System zufällig initialisiert. Die Werte dieser Geschwindigkeiten sind nicht Teil der Deskriptoren, die dem Algorithmus zugeführt werden. Es ist jedoch zu erwarten, dass sie die Details der Dynamik des Systems beeinflussen, was zu Änderungen in der Spannungs-Dehnungs-Kurve führen kann, aus der sich alle ergeben Es werden die in dieser Arbeit im Kontext der Vorhersagbarkeit diskutierten Größen extrahiert. Darüber hinaus kann das System empfindlich auf die anfängliche Wahl der Parameter in der Voronoi-Tessellation reagieren, d. h. auf die Position der Knoten, die die Formen der Körner festlegen, und auf die Winkel für die Gitterrotation. Da diese Merkmale des Systems mit einer endlichen Auflösung an das CNN übermittelt werden, führen kleine Variationen der Kornformen und Gitterrotationen möglicherweise nicht zu Änderungen an den Deskriptoren. Schließlich werden die Computersimulationen mit endlicher Dezimalgenauigkeit durchgeführt, was zu Ungenauigkeiten bei der Integration der Bewegungsgleichungen führt. All diese Faktoren können zu einer Einschränkung der Vorhersagbarkeit beitragen.

Um die Empfindlichkeit des Systems gegenüber den Anfangsbedingungen quantitativ zu untersuchen, wurden neue MD-Simulationen durchgeführt, wobei als Anfangszustand Sätze von Konfigurationen verwendet wurden, in denen eines der oben beschriebenen Merkmale (zufälliger Startwert, Position der Voronoi-Knoten und Gitterorientierung) variiert, während die übrigen gleich bleiben. Um die Ergebnisse repräsentativ für den gesamten Datensatz zu machen, wurden 15 Konfigurationen aus dem ursprünglichen Satz ausgewählt und für jede von ihnen und für jedes der Features wurden 49 neue Simulationen durchgeführt (was 50 Spannungs-Dehnungs-Kurven einschließlich der ungestörten Kurve ergab). Um die Empfindlichkeit quantitativ zu messen, sollte man die Varianz der Systemreaktion, beispielsweise die Spannung bei einer gegebenen Dehnung oder den Schermodul, hier für verschiedene Zufallskeime gemessen, mit der Varianz derselben Reaktion für den gesamten ursprünglichen Satz von Konfigurationen in Beziehung setzen. Die Empfindlichkeit \(\chi\) (die als Funktion der Störung \(\varvec{\alpha }\) angenommen wird) kann daher definiert werden als

Der Nenner ist die Varianz der Größe y über den gesamten ursprünglichen Satz von Konfigurationen, während der Nenner der Durchschnitt der Varianzen derselben Größe ist, die für die Konfigurationen bestimmt wurden, die mit der Größe \(\varvec{\alpha }\) über die gestört wurden Menge der für die Sensitivitätsanalyse ausgewählten Konfigurationen, aufgezählt mit dem Index i. Das Ausmaß der Störung kann geschrieben werden als:

wobei \(\Delta\) die Standardabweichung bezeichnet, x, y und z die Positionen der Knoten sind und \(\psi\), \(\theta\) und \(\phi\) die entsprechenden Euler-Winkel sind die Drehungen der Körner. \(\varvec{\alpha }_j\) ist die spezifische Realisierung der Störung mit der Größe \(\varvec{\alpha }\). \(\varvec{\alpha }=(0,0,0,0,0,0)\) impliziert, dass die Änderung des Zufallsstartwerts die einzige vorgenommene Störung ist.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Definition der Empfindlichkeit in Gl. (2) ähnelt dem Verhältnis der Varianzen in der Definition von \(r^2\) in Gl. (1). Beide Größen setzen die Streuung der in einem Verfahren ermittelten Werte mit der Streuung der Referenzwerte des Systems in Beziehung. Es kann erwartet werden, dass für ausreichend niedriges \(\varvec{\alpha }\) in dem Fall, in dem die Empfindlichkeit der einzige Faktor ist, der die Vorhersagbarkeit einschränkt, \(\chi =1-r^2\). Da es immer auch andere die Vorhersagbarkeit einschränkende Faktoren gibt (wie begrenzter Datensatz, Konvergenz des Trainings des ML-Algorithmus, seine Komplexität, Wahl der Deskriptoren), gilt in der Praxis \(\chi <1-r^2\).

Um die Abhängigkeit der Empfindlichkeit von der Stärke der Störung zu ermitteln, wurden MD-Simulationen für Konfigurationen mit unterschiedlichen Werten von \(\varvec{\alpha }\) durchgeführt. Für 15 aus dem Originalsatz ausgewählte Konfigurationen wurden 49 gestörte Konfigurationen mit \(\varvec{(}3\)Å\(,3^{\circ })\) generiert. Für alle wurden neue MD-Simulationen durchgeführt, für die jeweils ein anderer Zufallsstartwert verwendet wurde. Die gleiche Anzahl von Simulationen wurde für die ungestörten Konfigurationen durchgeführt, wobei nur der Zufallsstartwert geändert wurde. Zusätzlich wurden drei Konfigurationen ausgewählt und durch gleichzeitiges Verschieben der Knoten und Drehen der Gitterorientierung mit \(\varvec{\alpha }=(2\)Å\(,2^{\circ })\) in einem Satz gestört, und \(\varvec{\alpha }=(1\)Å\(,1^{\circ })\) im anderen Satz. Für eine gewählte Konfiguration sind die entsprechenden gemittelten Spannungs-Dehnungs-Kurven zusammen mit ihrer Streuung in Abb. 19 für verschiedene Störungsgrößen \(\varvec{\alpha }\) dargestellt. Wie dort zu sehen ist, nimmt die Standardabweichung der Stressantwort mit \(\varvec{\alpha }\) zu, unterscheidet sich jedoch im im Einschub dargestellten Bereich von \(\varvec{\alpha }\) höchstens um ein Faktor von 2. Aufgrund der schwachen Abhängigkeit von \(\varvec{\alpha }\) wird daher in der folgenden Diskussion \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) verwendet verwendet werden.

Nachfolgend wird die Empfindlichkeit des Systems gegenüber Störungen unterschiedlicher Anfangsbedingungen diskutiert. Die extrahierten Werte von \(\chi\) für verschiedene Arten von Störungen werden in Tabelle 1 gesammelt, wo sie mit den entsprechenden Werten von \(r^2\) verglichen werden, die für den gesamten Datensatz mit der Auflösung \(32\) erhalten wurden. mal 32\mal 32\).

Zunächst wurden Simulationen durchgeführt, die mit derselben anfänglichen polykristallinen Konfiguration, aber unterschiedlichen Zufallskeimen begannen und die Geschwindigkeiten der Partikel zu Beginn der Gleichgewichtsphase (\(\varvec{\alpha }=(0,0)\)) initialisierten. Es wurden 15 verschiedene Konfigurationen verwendet, für die jeweils 50 Simulationen mit unterschiedlichen Zufallsstartwerten durchgeführt wurden. Die Spannungs-Dehnungs-Kurven für mehrere solcher Zufallskeime für eine der Konfigurationen sind in Abb. 20a dargestellt. Wie dort zu sehen ist, sind die Kurven im elastischen Bereich ähnlich, was zu ähnlichen Werten des Schubmoduls führt, im plastischen Bereich hingegen gibt es eine große Variabilität der Spannung. In Abb. 21 ist die Empfindlichkeit \(\chi _{seed}=\chi (0,0)\) der Spannung bei dem gegebenen Dehnungswert gegenüber der anfänglichen Wahl der Atomgeschwindigkeiten dargestellt. Es ist zu beobachten, dass sein Wert bei sehr niedrigen Dehnungswerten relativ hoch ist, was höchstwahrscheinlich darauf zurückzuführen ist, dass die thermischen Spannungsschwankungen zu Beginn der Verformung größer als ihr Durchschnittswert sind. Etwa um den Dehnungswert von 0,02 fällt \(\chi _{seed}\) auf einen sehr niedrigen Wert und bleibt dort, bis die Ausbeute eintritt, d. h. bei etwa 0,08 Dehnung. Darüber hinaus erreicht \(\chi _{seed}\) Werte etwas über 0,2. Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um den Unterschied in den Werten von \(r^2\) für die Spannung bei dem festen Dehnungswert zu erklären. Denn der Dehnungswert von 0,075 ist \(r^2\) deutlich höher als für 0,1, und zwischen diesen beiden Werten tritt auch ein Anstieg von \(\chi _{seed}\) auf.

Für den Schubmodul, die Fließdehnung und die anderen Definitionen der Fließspannung kann man die gleiche Analyse auf analoge Weise durchführen, nämlich indem man die Varianz des gewählten Werts für die Zufallskeime bestimmt und sie durch die Varianz desselben Werts dividiert für den Originalsatz und Mittelung über die 15 Konfigurationen, für die die Sensitivitätsanalyse durchgeführt wurde. Sie sind alle in Tabelle 1 aufgeführt. Der niedrigste \(\chi _{seed}\) wird für den Schubmodul gefunden. Dies stimmt auch mit der Tatsache überein, dass \(r^2\) für den Schermodul für alle untersuchten Größen am höchsten ist und sich für den gesamten Datensatz und die höchste Auflösung dem Wert von 0,9 nähert. Andererseits weist die Spannung bei 0,1 Dehnung den höchsten \(\chi _{seed}\) auf, der auch den niedrigsten \(r^2\) aufweist. \(\chi _{seed}\) für den Maximalwert der Spannung ist höher als für den festen Dehnungswert von 0,075, aber niedriger als der beim Dehnungswert von 0,1. Schließlich sind die Werte von \(\chi _{seed}\) für die mit der Offset-Methode ermittelte Fließgrenze relativ niedrig, was mit ihren hohen Werten von \(r^2\) übereinstimmt.

Streuung der Spannungs-Dehnungs-Kurven für verschiedene Stärken der Störung \(\varvec{\alpha }\). Der Einschub zeigt die über alle verfügbaren Konfigurationen gemittelte Standardabweichung und das Fenster mit der Breite 0,02, zentriert bei der gegebenen Dehnung.

Spannungs-Dehnungs-Kurven, die für ein einzelnes Beispiel einer anfänglichen polykristallinen Mikrostruktur erstellt wurden, die auf unterschiedliche Weise gestört wird, um die Empfindlichkeit der Reaktion auf kleine Störungen des Anfangszustands zu beurteilen. (a) Störungen in Form verschiedener Zufallskeime, die zur Initialisierung der Atomgeschwindigkeiten verwendet werden, (b) Störungen der Voronoi-Knoten mit \(\varvec{\alpha }=(3\)Å, 0) und (c) Störungen der Winkelorientierung der Körner mit \(\varvec{\alpha }=(0,3^{\circ })\). Die dicken schwarzen Linien sind die Mittelwerte über 50 Spannungs-Dehnungs-Kurven, die jeweils für eine andere Störung des Anfangszustands erhalten wurden. Die grauen Bereiche stellen die Standardabweichung der Spannung bei einer gegebenen Dehnung dar.

\(\chi\) des Spannungswerts bei der gegebenen Dehnung, gemessen für die Wahl des Zufallskeims, der die Geschwindigkeiten der Atome initialisiert, Störung der Position der Knoten in der Voronoi-Tessellation, Störung der Gitterrotation der Körner, und all diese Störungen zusammen.

Um die Empfindlichkeit des Systems gegenüber den Positionen der Knoten in der Voronoi-Tessellation zu untersuchen, wurden für jede der 15 ausgewählten Konfigurationen zusätzliche 49 Konfigurationen durch zufälliges Verschieben der Knoten gemäß einer Gaußschen Verteilung mit einer Standardabweichung von 3 Å generiert. was \(\varvec{\alpha }=(3\)Å, 0) entspricht. Dieses Verfahren führt zu den ursprünglichen Konfigurationen mit leicht unterschiedlichen Kornstrukturen, aber gleicher Gitterorientierung innerhalb der Körner. Die resultierenden Spannungs-Dehnungs-Kurven sind in Abb. 20b dargestellt. \(\chi (3\)Å, 0) für den Spannungswert bei einer gegebenen Dehnung, der analog zum Fall verschiedener Zufallskeime bestimmt wird, ist in Abb. 21 dargestellt. Dort ist zu sehen, dass \(\ chi (3\)Å, 0) ist deutlich höher als \(\chi _{seed}\). Insbesondere ist ihr Betrag bei den Dehnungswerten 0,075 und 0,1, die zur Vorhersage der Spannung herangezogen werden, in diesem Fall auch höher.

Auf analoge Weise wie im Fall verschiedener Zufallskeime wurde \(\chi (3\)Å, 0) für andere Größen des Systems bestimmt. Aus Tabelle 1 ist ersichtlich, dass die Werte von \(\chi (3\)Å, 0) im Allgemeinen höher sind als die entsprechenden Werte von \(\chi _{seed}\). Die Beziehungen zwischen seinen Werten für verschiedene Größen sind jedoch ähnlich. Das minimale und das maximale \(\chi (3\)Å, 0) wird wiederum durch den Schubmodul bzw. die Spannung bei 0,1 Dehnung dargestellt.

Als nächstes wurde die Empfindlichkeit des Systems gegenüber der anfänglichen Gitterorientierung der Körner im Polykristall untersucht. Diesmal wurden neue Konfigurationen mit der festen Position der Knoten in der Voronoi-Tessellation und den Euler-Winkeln erzeugt, die gemäß einer Gaußschen Verteilung mit der Standardabweichung gleich 3\(^{\circ }\) gestört wurden, d. h. \(\varvec{ \alpha }=(0,3^{\circ })\). Die dieser Störung entsprechenden Spannungs-Dehnungs-Kurven sind in Abb. 20c dargestellt. Auch hier ist die Größe von \(\chi (0,3^{\circ })\) bei verschiedenen Dehnungswerten in Abb. 21 dargestellt. Sie scheint im elastischen Bereich höher zu sein als bei den vorherigen Messungen von \(\chi\ ). Darüber hinaus ist, wie in Tabelle 1 gezeigt, \(\chi (0,3^{\circ })\) für den Schermodul in diesem Fall ebenfalls höher, was mit der zuvor erwähnten Beobachtung zusammenhängt, dass die elastischen Eigenschaften der Probe werden hauptsächlich durch die Gitterorientierung gesteuert, die hier die gestörte Eigenschaft ist. Andererseits ist \(\chi (0,3^{\circ })\) im plastischen Teil der Spannungs-Dehnungs-Kurve vergleichbar mit \(\chi (3\)Å, 0) und für einige davon Mengen ist es tatsächlich etwas kleiner. Im Gegensatz zu den vorherigen Maßen von \(\chi\) ist \(\chi (0,3^{\circ })\) für die mit der Offset-Methode ermittelte Streckgrenze für den höheren Offset niedriger als für den niedrigeren. Dies hängt wiederum damit zusammen, dass die Gitterorientierung der Körner einen größeren Einfluss auf die elastischen Eigenschaften der Probe hat als auf die plastischen.

Alle oben diskutierten Beiträge zur Empfindlichkeit (zufälliger Startwert, Position der Knoten und Gitterorientierung) tragen zur Gesamtempfindlichkeit des Systems gegenüber den Anfangsbedingungen bei. Allerdings kann man nicht erwarten, dass das Maß für die Gesamtempfindlichkeit \(\chi _{total}=\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) einfach eine Summe all dieser Beiträge ist. Daher wurden zusätzliche MD-Simulationen durchgeführt. Sie wurden auf analoge Weise wie zuvor durchgeführt, aber anstatt nur einen der oben diskutierten Anfangsparameter zu ändern, wurden alle drei gleichzeitig variiert. Der Wert von \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) als Funktion der Dehnung ist auch in Abb. 21 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass er immer höher ist als \(\ chi\), gemessen in Bezug auf die Änderung eines der Merkmale separat.

Für alle untersuchten Größen wurden Werte von \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) ermittelt und die Ergebnisse sind wiederum in Tabelle 1 zusammengefasst. Sie können mit den entsprechenden asymptotischen Werten verglichen werden Vorhersagbarkeit \(r_{asymptotisch}^2\) wird als Achsenabschnitt in den 1/N-Diagrammen für die Auflösung von Deskriptoren \(32\times 32\times 32\) bestimmt und es ist ersichtlich, dass die Größen empfindlicher sind die Anfangsbedingungen des Systems (größeres \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\)) haben tendenziell kleinere \(r^2\). Die Werte von \(r_{asymptotic}^2\) sind gegen die von \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) in Abb. 22 aufgetragen, wobei zwischen ihnen eine lineare Korrelation besteht kann beobachtet werden. Zusätzlich wird im Diagramm der maximale Wert der Vorhersagbarkeit bei gegebenem \(r_{asymptotic}^2\) gleich \(1-\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\) angezeigt wie die blaue Linie. Für alle Größen liegt die tatsächliche \(r_{asymptotische}^2\) unterhalb dieser Linie, was bedeutet, dass die Bedingung \(r_{asymptotische}^2 \le 1-\chi (3\)Å\(,3^ {\circ })\) ist immer erfüllt.

Einige mögliche zusätzliche Faktoren neben \(\chi\), die die Vorhersagbarkeit einschränken könnten, wurden bereits erwähnt, es kann jedoch auch festgestellt werden, dass der Unterschied zwischen dem maximalen (\(1-\chi (3\)Å\(,3 ^{\circ })\)) und die tatsächliche Vorhersagbarkeit (\(r^2\)) unterscheiden sich zwischen den Größen. Sie ist für den Schubmodul am niedrigsten und für die Spannung bei 0,1 Dehnung am höchsten. Diese beiden Größen weisen auch das höchste bzw. das niedrigste \(r^2\) auf. Daher scheint es, dass diese anderen die Vorhersagbarkeit einschränkenden Faktoren für unterschiedliche Größen unterschiedliche Beiträge leisten. Im Allgemeinen kann davon ausgegangen werden, dass die elastischen Eigenschaften, wie beispielsweise der Schermodul, relativ einfach vorherzusagen sind, da ihre Messung nur eine geringe Verformung der Probe erfordert, was einer kurzen Zeitentwicklung des Systems entspricht. Darüber hinaus hat sich gezeigt, dass der Wert des Schubmoduls maßgeblich von der Gitterorientierung der einzelnen Körner bestimmt wird. Daher kann davon ausgegangen werden, dass die Beziehung zwischen den Deskriptoren und dem vorhergesagten Wert relativ einfach ist. Andererseits können die plastischen Eigenschaften der Probe, beispielsweise der Spannungswert bei einer Dehnung von 0,1, schwieriger vorherzusagen sein, da sie weiter auf der Spannungs-Dehnungs-Kurve auftreten, sodass das System möglicherweise teilweise seine Eigenschaften verloren hat Erinnerung an seinen Ausgangszustand.

Werte von \(r_{asymptotisch}^2\) verschiedener Größen, die in dieser Arbeit mit der Auflösung von \(32\times 32\times 32\) untersucht wurden, aufgetragen gegen ihre Gesamtempfindlichkeit \(\chi (3\)Å\( ,3^{\circ })\) auf die Anfangsbedingungen der Probe. Die grüne Linie ist eine lineare Anpassung an die Daten und die blaue Linie stellt das maximal mögliche \(r_{asymptotische}^2\) für das gegebene \(\chi (3\)Å\(,3^{\circ }) dar. \), also \(1-\chi (3\)Å\(,3^{\circ })\).

In dieser Arbeit wurde die Vorhersagbarkeit (gemessen als Bestimmtheitsmaß \(r^2\)) der elastischen und plastischen Eigenschaften nanoskaliger scherverformter Eisenpolykristalle mithilfe von ML-Methoden bestimmt. Während der Schubmodul leicht als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve für kleine Dehnungen definiert werden kann, ist die Definition der Fließspannung nicht so einfach und daher wurden mehrere Definitionen in Betracht gezogen. Für alle untersuchten Größen wurde festgestellt, dass die Vorhersagbarkeit mit der Datensatzgröße N und der räumlichen Auflösung der gewählten mikrostrukturellen Deskriptoren zunimmt. Es scheint jedoch immer einen bestimmten Wert unter 1 zu erreichen, was darauf hindeutet, dass es eine gewisse grundlegende Grenze für die Vorhersagbarkeit der Verformung kleiner Polykristalle gibt. Darüber hinaus wurde festgestellt, dass die vom CNN erhaltene Vorhersagbarkeit für den Schermodul höher ist als für die Streckgrenze, unabhängig von der genauen Definition der Streckgrenze. Die Gründe für diesen Unterschied und für die Grenze der Vorhersagbarkeit wurden untersucht, indem die Empfindlichkeit des untersuchten Systems gegenüber kleinen Störungen seines Anfangszustands gemessen wurde.

Diese Empfindlichkeit des Systems wurde gemessen, indem die zufälligen Startgeschwindigkeiten in der MD-Simulation, die Position der Knoten in der Voronoi-Tessellation und die Gitterorientierungen der Körner innerhalb der anfänglichen Polykristallkonfiguration variiert wurden. Es wurde festgestellt, dass entsprechend den Unterschieden in der Vorhersagbarkeit die plastischen Eigenschaften des Systems eine größere Empfindlichkeit gegenüber dem Ausgangszustand aufweisen als die elastischen Eigenschaften. Im Allgemeinen kann man sich die Sensitivität als Maß für die Informationsmenge vorstellen, die dem ML-Algorithmus nicht zur Verfügung steht. Da das System bei jeder endlichen Temperatur ständig schwankt und seine Deskriptoren zu einem bestimmten Zeitpunkt aus der Gleichgewichtskonfiguration extrahiert werden, ist das Ausmaß der Schwankungen der Position der Atome und ihrer Geschwindigkeiten dem CNN unbekannt. Darüber hinaus neigt eine voxelisierte Darstellung der anfänglichen Mikrostruktur mit einer endlichen Auflösung dazu, kleine Unterschiede in der anfänglichen Mikrostruktur zwischen Proben zu verbergen. Da das System daher empfindlich auf kleine Störungen der anfänglichen Mikrostruktur reagiert, können zwei Konfigurationen mit identischen Deskriptoren zu unterschiedlichen zeitlichen Entwicklungen und, wie hier untersucht, zu unterschiedlichen Spannungs-Dehnungs-Kurven führen.

Unsere Studie liefert somit wichtige Einblicke in die grundlegenden Grenzen der Vorhersagbarkeit von Verformungen, und es wird erwartet, dass diese Erkenntnisse allgemeiner auf die Vorhersage der zeitlichen Entwicklung komplexer physikalischer Systeme anwendbar sind. Auch wenn die Dynamik eines komplexen Systems, wie etwa die Verformung der hier untersuchten Polykristalle, durch deterministische Bewegungsgleichungen bestimmt wird, kann seine Vorhersagbarkeit aufgrund der unvollständigen Informationen über den Anfangszustand und anderer Faktoren wie zufälliger thermischer Fluktuationen dennoch eingeschränkt sein. Auch wenn die hier vorgestellte Studie rein rechnerisch ist, könnten die daraus gezogenen Schlussfolgerungen auch auf Experimente ausgeweitet werden. Die Genauigkeit, mit der die Struktur der Probe durch Messungen bestimmt werden kann, ist immer endlich und aufgrund der ständigen thermischen Schwankungen sind im Wesentlichen keine Informationen über die Geschwindigkeiten einzelner Partikel verfügbar. Insgesamt könnte die hier vorgestellte Analyse zur Rolle der Empfindlichkeit des Systems gegenüber kleinen Störungen seiner ursprünglichen Konfiguration bei der Einschränkung der Vorhersagbarkeit der zukünftigen Entwicklung des Systems in einem breiten Spektrum von Kontexten angewendet werden, in denen es darum geht, das Verhalten eines komplexen Systems vorherzusagen .

Die zur Erzeugung der polykristallinen Proben verwendeten Werkzeuge sind Atomsk47 und Nanocrystal Generator48; Letzteres Programm wurde in unserer Forschungsgruppe entwickelt. Beide Programme implementieren die Voronoi-Tessellation49,50, eine Methode zur Aufteilung des dreidimensionalen Raums in eine Reihe von Polyedern, die hier als Darstellung der einzelnen Körner des Polykristalls dienen. Die Voronoi-Tessellation ist eine gängige Methode zur Erzeugung von Polykristallen, die in vielen Varianten existiert51. Es wird vollständig durch die Angabe der Positionen einer bestimmten Anzahl von Punkten, sogenannten Seeds, im Raum definiert. Für jeden dieser Samen gibt es eine entsprechende Region, die Voronoi-Zelle genannt wird und alle Punkte enthält, die diesem Samen näher sind als jedem anderen Samen. Diese Voronoi-Zellen werden anschließend mit Atomen gefüllt, die in der gewählten Gitterstruktur und mit der angegebenen kristallographischen Ausrichtung angeordnet sind, um die Körner des Polykristalls darzustellen. In allen drei Richtungen werden periodische Randbedingungen implementiert.

In dieser Arbeit werden sowohl die Positionen der Keime als auch die Euler-Winkel für die kristallographische Orientierung der einzelnen Körner für jeden Polykristall zufällig gewählt. Die gleichmäßige Verteilung der Euler-Winkel führt jedoch zu einer ungleichmäßigen Verteilung der Kristallorientierungen. Daher handelt es sich bei den in dieser Arbeit untersuchten polykristallinen Proben tatsächlich um texturierte Polykristalle, bei denen die Rotation der Körner entlang der z-Richtung zu den Polen hin ausgerichtet ist52.

Einige Parametersätze in der Voronoi-Tessellation führten zu Konfigurationen, die aufgrund zu geringer Abstände zwischen den Atomen über die Korngrenze hinweg nicht stabil waren. Solche Konfigurationen wurden entfernt und durch neue ersetzt, die nicht zu diesem Problem führten.

Als interatomares Potenzial für die MD-Simulationen wird das Potenzial des eingebetteten Atommodells (EAM) für Fe53 verwendet. Während eines einzelnen MD-Laufs wird zunächst die potentielle Energie der Konfiguration minimiert, indem man die Atome entspannen lässt, und dann wird das System mit dem Nose-Hoover-Thermostat bei einer konstanten Temperatur von 300 K und im NPT-Ensemble bei einem Druck von Null äquilibriert. Abschließend wird die Scherverformung der Probe im NPH-Ensemble in der xy-Ebene unter konstanter Dehnungsrate durchgeführt, was durch Kippen der Simulationsbox erfolgt. Aufgrund der Wahl des Ensembles kann sich die Temperatur ändern, d. h. es wird kein Thermostat verwendet. Dies würde sicherstellen, dass die Bewegungsgleichungen tatsächlich deterministisch sind, was beispielsweise analog zu Simulationen der diskreten Versetzungsdynamik (DDD) wäre, bei denen kein thermisches Rauschen vorhanden ist. Beachten Sie jedoch, dass Zufälligkeit durch unterschiedliche, zufällig gewählte Anfangsgeschwindigkeiten der Atome für jede Probe einbezogen wird. Während des gesamten Verformungslaufs wird die momentane xy-Komponente des Drucktensors als Funktion der Zeit gespeichert.

Der in allen MD-Simulationen verwendete Zeitschritt beträgt 1 fs. Nach dem 1 ns dauernden Gleichgewichtslauf wird der MD-Scherverformungslauf mit der konstanten Dehnungsrate von 3\(\cdot\)10\(^{8}\)/s durchgeführt, bis die Dehnung den Wert von 0,15 erreicht. Die xy-Komponente des Drucktensors wird alle 50 Zeitschritte gespeichert.

Aus der ausgeglichenen Konfiguration der Polykristalle werden zwei verschiedene dreidimensionale Felder extrahiert und später als Eingabedeskriptoren für den ML-Algorithmus verwendet. Eine davon ist die lokale Ausrichtung des Gitters, die durch die Quaternionendarstellung der Rotationen im dreidimensionalen Raum gegeben ist. Eine Quaternion besteht aus vier Komponenten und kann als \(\textbf{q}=\cos (\Theta /2)+\textbf{u}\sin (\Theta /2)\) geschrieben werden, wobei \(\textbf{ u}=(u_x,u_y,u_z)\) ist ein Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum und \(\Theta\) ist der Rotationswinkel um diesen Vektor. Da dieser Deskriptor Informationen über die lokale kristallographische Orientierung liefert, kodiert er auch die Fehlorientierungswinkel zwischen den Körnern, die für die in der Arbeit vorhergesagten Mengen relevant sein könnten. Der andere Deskriptor ist die lokale Atomdichte an der Korngrenze, die durch Entfernen aller zur bcc-Struktur der Körner gehörenden Atome identifiziert wird. Ein weiterer versuchter Deskriptor war die lokale potentielle Energie. Obwohl erwartet wurde, dass es einige wichtige Informationen zu bestimmten Fehlorientierungswinkeln der Korngrenzen enthalten könnte, wie es im Koinzidenzstellengittermodell der Fall ist, wurde festgestellt, dass die Einbeziehung dieses zusätzlichen Deskriptors die Vorhersagbarkeitsbewertung in keiner Weise verbessert.

Beide in der Arbeit verwendeten Deskriptoren, die im linken Teil von Abb. 2 für eine Beispielkonfiguration dargestellt sind, werden von der OVITO-Software54 extrahiert, die Funktionen zur Identifizierung des lokalen Strukturtyps (Common-Neighbor-Analyse55) und der kristallographischen Ausrichtung bereitstellt ( polyedrisches Template-Matching56). Die Deskriptoren werden zur Vorhersage des Schubmoduls und der Fließspannung mittels eines CNN verwendet.

Wie bereits gezeigt, wurde durch das Training eines CNN mit jedem dieser Deskriptoren separat festgestellt, dass für die Vorhersage des Schermoduls die Ausrichtung der Körner wichtiger ist, während für die Vorhersage der Fließgrenze die Korngrenze ein nützlicherer Deskriptor ist. Allerdings ist die Vorhersagbarkeit immer dann am höchsten, wenn beide Deskriptoren verwendet werden. Daher werden die Deskriptoren in fünf verschiedene Arrays zusammengefasst (vier für die Gitterorientierung und eines für die Korngrenze).

Ein CNN ist ein ML-Algorithmus, der als Eingabe ein pixeliges Bild des Systems verwendet und es durch eine Reihe von Filtern in Faltungs- und Pooling-Schichten verarbeitet. Da das hier untersuchte System dreidimensional ist, bestehen die Eingabearrays aus Voxeln, die Pixeln in drei Dimensionen entsprechen. In dieser Arbeit wird ein CNN darauf trainiert, die charakteristischen Merkmale der oben genannten Spannungs-Dehnungs-Kurven vorherzusagen: Schermodul und Fließspannung gemäß seinen verschiedenen Definitionen.

Die Eingabearrays werden in verschiedenen Auflösungen erstellt, die die Genauigkeit darstellen, mit der das aus der gegebenen Konfiguration extrahierte Feld abgetastet wird. Der höchste Wert ist \(64\times 64\times 64\), da für diese Auflösung die Anzahl der Voxel in der gleichen Größenordnung liegt wie die Anzahl der Atome. Die verwendeten niedrigeren Auflösungen sind \(16\times 16\times 16\) und \(32\times 32\times 32\). Das Array für die lokale Gitterorientierung wurde erstellt, indem alle Atome im System gescannt und ihre Quaternionwerte dem Element des Arrays zugewiesen wurden, dessen Mittelpunkt der entsprechenden Zelle dem gegebenen Atom am nächsten liegt. Wenn sich später herausstellte, dass sich ein anderes Atom noch näher am Zentrum dieser Zelle befand, wurde der dieser Zelle zugewiesene Quaternionwert durch den neuen ersetzt. Andererseits wurde das Array für die lokale Dichte von Atomen an der Korngrenze erstellt, indem die Anzahl der Atome, die als zur Grenze innerhalb der gegebenen Zelle gehörend identifiziert wurden, dem entsprechenden Element des Arrays zugeordnet wurde.

Die Daten aus den Eingabearrays werden an die in der CNN-Architektur enthaltenen Faltungs-, periodischen Füll- und Pooling-Schichten weitergeleitet und anschließend von diesen verarbeitet. Die Faltungsschichten enthalten 8 Filter. Die Größe des Kernels beträgt \(3\times 3\times 3\) und die Schrittlänge beträgt 1 in jede Richtung. Die Aufgabe der periodischen Füllschicht besteht darin, die Größe des Arrays auf dem gleichen Niveau wie vor der Faltungsschicht zu halten, indem es an jeder Kante periodisch um 1 erweitert wird. Die maximalen Pooling-Schichten reduzieren jede der räumlichen Dimensionen der Daten um die Hälfte. Dies erfolgt durch Aufteilen der Eingabe in Würfel mit den Dimensionen \(2\times 2\times 2\) und Auswählen des Maximalwerts aus jedem von ihnen. Eine Folge einer Faltungs- und Poolingschicht wird so oft wie nötig wiederholt, um die Größe des Arrays auf die Dimension \(1\times 1\times 1\times 8\) zu reduzieren. Daher hängt die Gesamtzahl dieser Ebenen von der Eingabeauflösung ab. Die Aktivierungsfunktion in der ersten Faltungsschicht ist Sigmoid, während in allen folgenden Gleichrichterfunktionen verwendet werden. Es wurde festgestellt, dass diese Auswahl an Aktivierungsfunktionen die Leistung des Trainings steigert. Zusätzlich wird parallel zum Hauptkanal ein weiterer Kanal mit weniger Faltungs-, periodischen Füll- und Pooling-Schichten, aber größeren Filtern in letzterem hinzugefügt, was zu einer schnelleren Größenreduzierung der Arrays führt. Die Ausgabe beider Kanäle wird schließlich abgeflacht und verkettet, wodurch ein lineares Array der Größe 16 entsteht, das von einer vollständig verbundenen Schicht weiterverarbeitet wird und als Ausgabe eine einzelne Zahl ergibt, die entweder den Schermodul oder die Fließspannung darstellt.

Für das Training des CNN wird der Adam-Optimierer mit der Lernrate \(5\cdot 10^{-5}\) verwendet. Die L2-Regularisierung wird auf alle Faltungsschichten mit dem Parameter \(\lambda =0,001\) angewendet.

Um die Konvergenz des CNN-Trainings zu testen, wird das Verfahren für verschiedene Größen des Datensatzes durchgeführt, beginnend mit 500 oder 1000 Konfigurationen und sukzessive um eine bestimmte Anzahl erhöht, bis der gesamte Datensatz abgedeckt ist. Für jede der untersuchten Größen werden fünf verschiedene CNNs für verschiedene Zufallsstartwerte trainiert, die unterschiedliche Aufteilungen des Datensatzes in den Trainings-, Test- und Validierungssatz im Verhältnis 80:10:10 % darstellen. Der Zweck des Validierungssatzes besteht darin, das Training in der Epoche zu unterbrechen, in der der entsprechende Wert der Verlustfunktion für diesen Satz seinen Minimalwert erreicht. In dieser Arbeit wurde das Kriterium des frühen Abbruchs mit einer Geduld von 500 Epochen verwendet, wonach das Training unterbrochen wird, wenn keine Abnahme der Verlustfunktion des Validierungssatzes aufgetreten ist. Die endgültigen Parameter des CNN werden aus der Epoche ausgewählt, in der die Verlustfunktion des Validierungssatzes den minimalen Wert hat.

Alle in dieser Arbeit enthaltenen Daten sind auf Anfrage beim entsprechenden Autor (MM) erhältlich.

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Die Autoren danken der Akademie von Finnland für ihre Unterstützung durch das Akademieprojekt COPLAST (Projekt-Nr. 322405). Die Autoren danken Henri Salmenjoki für interessante Diskussionen zum maschinellen Lernen.

Computational Physics Laboratory, Universität Tampere, Postfach 692, FI-33014, Tampere, Finnland

Marcin Mińkowski & Lasse Laurson

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MM erstellte die Trainingsdatenbank, führte die Molekulardynamiksimulationen durch, trainierte die Algorithmen für maschinelles Lernen und schrieb die erste Version des Manuskripts. LL hat das Projekt entworfen und überwacht. Beide Autoren waren an der Erstellung des Manuskripts beteiligt.

Korrespondenz mit Marcin Mińkowski.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Mińkowski, M., Laurson, L. Vorhersage elastischer und plastischer Eigenschaften kleiner Eisenpolykristalle durch maschinelles Lernen. Sci Rep 13, 13977 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40974-0

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Eingegangen: 29. Mai 2023

Angenommen: 19. August 2023

Veröffentlicht: 26. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40974-0

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